Fraction dyadique

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En mathématiques, une fraction dyadique ou rationnel dyadique est un nombre rationnel qui peut s'écrire sous forme de fraction avec pour dénominateur une puissance de deux^[1]. On peut noter l'ensemble des nombres dyadiques formellement par

${\displaystyle D=\left\{\left.{\frac {a}{2^{b}}}~\right|~(a,b)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {N} \right\}.}$

Par exemple, 1/2 ou 3/8 sont des fractions dyadiques, mais pas 1/3.

De même que les nombres décimaux sont les nombres qui ont un développement décimal fini^[2], les fractions dyadiques sont les nombres qui ont un développement binaire fini.

Le pouce est habituellement divisé de manière dyadique plutôt qu'en fractions décimales ; de manière similaire, les divisions habituelles du gallon en demi-gallons, quarts et pintes sont dyadiques. Les anciens égyptiens utilisaient aussi les fractions dyadiques dans les mesures, avec le numérateur 1 et des dénominateurs allant jusqu'à 64.

L'ensemble de toutes les fractions dyadiques est dense dans l'ensemble des nombres réels ; un nombre réel quelconque x est limite de la suite de rationnels dyadiques ⌊2ⁿx⌋/2ⁿ.

Comparé aux autres sous-ensembles denses de la droite réelle, tels que les nombres rationnels, c'est un ensemble plutôt « petit » en un certain sens, c'est pourquoi il apparaît quelquefois dans les démonstrations de topologie comme le lemme d'Urysohn.

La somme, la différence ou le produit de deux fractions dyadiques quelconques est elle-même une fraction dyadique :

${\displaystyle {\frac {a}{2^{b}}}+{\frac {c}{2^{d}}}={\frac {2^{d}a+2^{b}c}{2^{b+d}}}}$

${\displaystyle {\frac {a}{2^{b}}}-{\frac {c}{2^{d}}}={\frac {2^{d}a-2^{b}c}{2^{b+d}}}}$

${\displaystyle {\frac {a}{2^{b}}}\times {\frac {c}{2^{d}}}={\frac {a\times c}{2^{b+d}}}.}$

Par contre, le quotient d'une fraction dyadique par une autre n'est pas, en général, une fraction dyadique. Ainsi, les fractions dyadiques forment un sous-anneau du corps ℚ des nombres rationnels. Ce sous-anneau est le localisé de l'anneau ℤ des entiers par rapport à l'ensemble des puissances de deux.

Les nombres surréels sont générés par un principe de construction itérative qui commence en générant toutes les fractions dyadiques finies, puis conduit à la création de nouvelles et étranges sortes de nombres infinis, infinitésimaux et autres.