Lemme de Neyman-Pearson

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Lemme de Neyman-Pearson

Type	Théorème
Inventeurs	Jerzy Neyman, Egon Sharpe Pearson
Nommé en référence à	Jerzy Neyman, Egon Sharpe Pearson
Formule	${\displaystyle \Lambda (x)={\frac {L(x\mid \theta _{0})}{L(x\mid \theta _{1})}}\leq \eta }$

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En statistique, selon le lemme de Neyman-Pearson, lorsque l'on veut effectuer un test d'hypothèse entre deux hypothèses H₀ : θ = θ₀ et H₁ : θ = θ₁, pour un échantillon ${\displaystyle \mathbf {x} =(X_{1},\ldots ,X_{n})}$, alors le test du rapport de vraisemblance, qui rejette H₀ en faveur de H₁ lorsque ${\displaystyle {\frac {{\mathcal {L}}(\mathbf {x} ,\theta _{0})}{{\mathcal {L}}(\mathbf {x} ,\theta _{1})}}\leq k_{\alpha }}$, où ${\displaystyle k_{\alpha }}$ est tel que

${\displaystyle P\left({\frac {{\mathcal {L}}({\textbf {x}},\theta _{0})}{{\mathcal {L}}({\textbf {x}},\theta _{1})}}\leq k_{\alpha }{\bigg |}H_{0}\right)=\alpha }$, est le test le plus puissant de niveau ${\displaystyle \alpha }$.

Ce lemme est nommé d'après Jerzy Neyman et Egon Sharpe Pearson dans un article publié en 1933^[1].

En pratique, la plupart du temps, le rapport de vraisemblance lui-même n'est pas explicitement utilisé dans le test. En effet, le test du rapport de vraisemblance ci-dessus est souvent équivalent à un test de la forme ${\displaystyle T\leq t_{\alpha }}$ pour une statistique ${\displaystyle T}$ plus simple, et le test est effectué sous cette forme-ci.