Loi de Wishart

Loi de Wishart
Paramètres	${\displaystyle n>p-1\!}$ Degré de liberté ${\displaystyle \mathbf {V} >0\,}$ paramètre d'échelle (${\displaystyle p\times p}$ matrice définie positive)
Support	l'ensemble des matrices définies positives
Densité de probabilité	${\displaystyle {\frac {1}{2^{\frac {np}{2}}\left|{\mathbf {V} }\right|^{\frac {n}{2}}\Gamma _{p}({\frac {n}{2}})}}{\left|\mathbf {X} \right|}^{\frac {n-p-1}{2}}e^{-{\frac {1}{2}}{\rm {tr}}({\mathbf {V} }^{-1}\mathbf {X} )}}$ où ${\displaystyle \Gamma _{p}}$ est la fonction gamma multidimensionnelle et ${\displaystyle \mathrm {tr} }$ est la fonction trace
Espérance	${\displaystyle n\mathbf {V} }$
Mode	${\displaystyle (n-p-1)\mathbf {V} {\text{ for }}n\geq p+1}$
Variance	${\displaystyle \operatorname {Var} (\mathbf {X} _{ij})=n(v_{ij}^{2}+v_{ii}v_{jj})}$
Entropie	voir l'article
Fonction caractéristique	${\displaystyle \Theta \mapsto \left|{\mathbf {I} }-2\mathrm {i} \,{\mathbf {\Theta } }{\mathbf {V} }\right|^{-n/2}}$
modifier

En théorie des probabilités et en statistique, la loi de Wishart est la généralisation multidimensionnelle de la loi du χ², ou, dans le cas où le nombre de degré de libertés n'est pas entier, de la loi gamma. La loi est dénommée en l'honneur de John Wishart qui la formula pour la première fois en 1928^[1].

C'est une famille de lois de probabilité sur les matrices définies positives, symétriques. Une variable aléatoire de loi de Wishart est donc une matrice aléatoire. Trois lois sont d'une grande importance dans l'estimation des matrices de variance-covariance.

Si une variable aléatoire X suit une loi de Wishart, on notera ${\displaystyle X\sim W_{p}(V,n)}$ ou ${\displaystyle W(V,p,n)}$