Loi exponentielle

Loi exponentielle
Densité de probabilité
Fonction de répartition
Paramètres	${\displaystyle \lambda >0\,}$ intensité ou inverse de l'échelle (réel)
Support	${\displaystyle [0,\infty [\!}$
Densité de probabilité	${\displaystyle \lambda \mathrm {e} ^{-\lambda x}}$
Fonction de répartition	${\displaystyle 1-\mathrm {e} ^{-\lambda x}}$
Espérance	${\displaystyle {\dfrac {1}{\lambda }}\,}$
Médiane	${\displaystyle {\dfrac {\ln(2)}{\lambda }}\,}$
Mode	${\displaystyle 0\,}$
Variance	${\displaystyle {\dfrac {1}{\lambda ^{2}}}\,}$
Asymétrie	${\displaystyle 2\,}$
Kurtosis normalisé	${\displaystyle 6\,}$
Entropie	${\displaystyle 1-\ln(\lambda )\,}$
Fonction génératrice des moments	${\displaystyle \left(1-{\dfrac {t}{\lambda }}\right)^{-1}\,}$
Fonction caractéristique	${\displaystyle \left(1-{\dfrac {\mathrm {i} t}{\lambda }}\right)^{-1}\,}$
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En théorie des probabilités et en statistiques, la loi exponentielle est une loi de probabilité à valeurs réelles positives et continue sur ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$. Elle présente des liens avec d'autres lois de probabilités, dont les lois Gamma, de Weibull, géométrique, d'Erlang, la loi hypo-exponentielle ou la distribution q-exponentielle.

Une loi exponentielle modélise la durée de vie d'un phénomène sans mémoire, ou sans vieillissement, ou sans usure : la probabilité que le phénomène dure au moins ${\displaystyle s+t}$ heures (ou n'importe quelle autre unité de temps) sachant qu'il a déjà duré ${\displaystyle t}$ heures sera la même que la probabilité de durer ${\displaystyle s}$ heures à partir de sa mise en fonction initiale. En d'autres termes, le fait que le phénomène ait duré pendant ${\displaystyle t}$ heures ne change rien à son espérance de vie à partir du temps ${\displaystyle t}$.

Plus formellement, soit ${\displaystyle X}$ une variable aléatoire définissant la durée de vie d'un phénomène, d'espérance mathématique ${\displaystyle \mathbb {E} (X)}$. On suppose que : ${\displaystyle \forall (s,t)\in \mathbb {R} _{+}^{2},\;\mathbb {P} _{X>t}(X>s+t)=\mathbb {P} (X>s)}$

Alors, la densité de probabilité de ${\displaystyle X}$ est définie par :

• ${\displaystyle f(t)=0}$ si ${\displaystyle t<0}$ ;
• ${\displaystyle f(t)={\dfrac {1}{\mathbb {E} (X)}}\mathrm {e} ^{-{\frac {t}{\mathbb {E} (X)}}}}$ pour tout ${\displaystyle t\geq 0}$.

et on dit que ${\displaystyle X}$ suit une loi exponentielle de paramètre (ou d'intensité) ${\displaystyle \lambda ={\dfrac {1}{\mathbb {E} (X)}}}$. Réciproquement, une variable aléatoire ayant cette loi vérifie la propriété d'être sans mémoire.

Cette loi permet entre autres de modéliser la durée de vie d'un atome radioactif ou d'un composant électronique. Elle peut aussi être utilisée pour décrire par exemple le temps écoulé entre deux coups de téléphone reçus au bureau, ou le temps écoulé entre deux accidents de voiture dans lequel un individu donné est impliqué.