Nombre de Liouville

En mathématiques, et plus précisément en théorie des nombres, un nombre de Liouville est un nombre réel ${\displaystyle x}$ ayant la propriété suivante :

pour tout entier naturel ${\displaystyle n}$, il existe des entiers ${\displaystyle q_{n}\geqslant 2}$ et ${\displaystyle p_{n}\geqslant 1}$ tels que ${\displaystyle 0<\left\vert x-{\frac {p_{n}}{q_{n}}}\right\vert <{\frac {1}{(q_{n})^{n}}}}$,

ou, ce qui est équivalent :

pour tout entier naturel ${\displaystyle n}$ et tout réel ${\displaystyle A>0}$, il existe des entiers ${\displaystyle q\geqslant 2}$ et ${\displaystyle p\geqslant 1}$ tels que ${\displaystyle 0<\left\vert x-{\frac {p}{q}}\right\vert <{\frac {A}{q^{n}}}}$.

Un nombre de Liouville peut ainsi être approché « de manière très fine » par une suite de nombres rationnels. En 1844, Joseph Liouville montra qu'il existe des nombres vérifiant la seconde propriété et que tous sont transcendants^[1], établissant ainsi pour la première fois l'existence de nombres transcendants.