Univers de Grothendieck

En mathématiques, un univers de Grothendieck est un ensemble U ayant les propriétés suivantes^[1] :

1. si x appartient à U et si y appartient à x, alors y appartient à U (on dit que U est un ensemble transitif) ;
2. si x et y appartiennent à U alors {x, y} aussi ;
3. si x appartient à U, alors l'ensemble P(x) des parties de x aussi ;
4. si (x_i)_i∈I est une famille d'éléments de U et si I appartient à U, alors l'union ⋃_i∈I x_i appartient à U.

Alexandre Grothendieck a introduit et utilisé cette idée pour éviter les classes propres en géométrie algébrique.

Les univers de Grothendieck non dénombrables fournissent des modèles de la théorie des ensembles. Dans ZFC, leur existence n'est pas démontrable, puisqu'elle équivaut à l'existence de cardinaux (fortement) inaccessibles non dénombrables.

La théorie des ensembles de Tarski-Grothendieck (en) est une extension propre de ZFC dans laquelle tout ensemble appartient à au moins un univers de Grothendieck. Le concept d'univers de Grothendieck peut aussi être défini dans un topos^[2].