Coeficiente binomial

Os coeficientes binomiais ou números combinatorios son os enteiros positivos que aparecen como coeficientes no teorema do binomio. Normalmente, un coeficiente binomial está representado por un par de números enteiros n ≥ k ≥ 0 e escríbese ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}.}$ Correspóndese co coeficiente do termo x^k na expansión polinómica da potencia binomial (1 + x)ⁿ; este coeficiente pódese calcular mediante a fórmula

${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}.}$

Imos ver un exemplo, a cuarta potencia de (1 + x) é

${\displaystyle {\begin{aligned}(1+x)^{4}&={\tbinom {4}{0}}x^{0}+{\tbinom {4}{1}}x^{1}+{\tbinom {4}{2}}x^{2}+{\tbinom {4}{3}}x^{3}+{\tbinom {4}{4}}x^{4}\\&=1+4x+6x^{2}+4x^{3}+x^{4},\end{aligned}}}$

e calculamos o coeficiente binomial ${\displaystyle {\tbinom {4}{2}}={\tfrac {4\times 3}{2\times 1}}={\tfrac {4!}{2!2!}}=6}$ é o coeficiente do termo x².

Se ordenamos os números ${\displaystyle {\tbinom {n}{0}},{\tbinom {n}{1}},\ldots ,{\tbinom {n}{n}}}$ en filas sucesivas para n = 0, 1, 2, ... daquela temos unha matriz triangular chamada triángulo de Pascal, que satisfai a relación de recorrencia

${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\binom {n-1}{k-1}}+{\binom {n-1}{k}}.}$

En moitas áreas das matemáticas aparecen os coeficientes binomiais, e teñen especial incidencia na combinatoria. O símbolo ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ adoita lerse como "n sobre k". Hai ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ formas de escoller un subconxunto (desordenado) de k elementos dun conxunto fixo de n elementos. Por exemplo, hai ${\displaystyle {\tbinom {4}{2}}=6}$ formas de escoller 2 elementos entre {1, 2, 3, 4}, é dicir, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4 } e {3, 4}.

Agora podemos xeneralizar para que ${\displaystyle {\tbinom {z}{k}}}$ poida usarse para calquera número complexo z e enteiro k ≥ 0, e moitas das súas propiedades seguen a manterse nesta forma máis xeral.

As notacións alternativas máis frecuentes son C(n, k), Cn
k, e C_n,k, en todas elas o C significa combinacións.