Conxunto xerador dun grupo

En álxebra abstracta, un conxunto xerador dun grupo é un subconxunto do grupo tal que cada elemento do grupo pode expresarse como unha combinación (baixo a operación de grupo) dun número finito de elementos do subconxunto e os seus inversos.

Noutras palabras, se ${\displaystyle S}$ é un subconxunto dun grupo ${\displaystyle G}$, entón ${\displaystyle \langle S\rangle }$, o subgrupo xerado por ${\displaystyle S}$ denotado ${\displaystyle \langle S\rangle }$,, é o subgrupo de todos os elementos de ${\displaystyle G}$ que se pode expresar como un produto finito dos elementos de ${\displaystyle S}$ e os seus inversos. (Teña en conta que os inversos só son necesarias se o grupo é infinito; nun grupo finito, o inverso dun elemento pódese expresar tamén como unha potencia dese elemento).

Se ${\displaystyle G=\langle S\rangle }$, entón dicimos que ${\displaystyle S}$ xera ${\displaystyle G}$, e os elementos en ${\displaystyle S}$ chámanse xeradores ou xeradores de grupo. Se ${\displaystyle S}$ é o conxunto baleiro, entón ${\displaystyle \langle S\rangle }$ é o grupo trivial ${\displaystyle \{e\}}$, xa que consideramos que o produto baleiro é a identidade.

Cando hai un único elemento ${\displaystyle x}$ en ${\displaystyle S}$, ${\displaystyle \langle S\rangle }$ adoita escribirse como ${\displaystyle \langle x\rangle }$. Neste caso, ${\displaystyle \langle x\rangle }$ é o subgrupo cíclico das potencias de ${\displaystyle x}$, un grupo cíclico, e dicimos que este grupo é xerado por ${\displaystyle x}$. Para grupos finitos, tamén é equivalente a dicir que ${\displaystyle x}$ ten orde ${\displaystyle |G|}$.

Se ${\displaystyle G}$ é un grupo topolóxico e logo un subconxunto ${\displaystyle S}$ de ${\displaystyle G}$ chámase conxunto de xeradores topolóxicos se ${\displaystyle \langle S\rangle }$ é denso en ${\displaystyle G}$, é dicir, o peche de ${\displaystyle \langle S\rangle }$ é todo o grupo ${\displaystyle G}$.