Dominio de ideais principais

En matemáticas, un dominio de ideais principais, ou PID, é un dominio de integridade (é dicir, un anel conmutativo sen divisores de cero distintos de cero) no que todo ideal é principal (é dicir, está formado polos múltiplos dun só elemento). Algúns autores como Bourbaki fan referencia aos PID como aneis principais.

Os dominios de ideais principais son obxectos matemáticos que se comportan como os números enteiros, en relación á divisibilidade: calquera elemento dun PID ten unha factorización única en elementos primos (polo que cumpren con un análogo do teorema fundamental da aritmética); dous elementos calquera dun PID teñen un máximo común divisor (aínda que quizais non sexa posíbel atopalo usando o algoritmo euclidiano). Se x e y son elementos dun PID sen divisores comúns, entón cada elemento do PID pode escribirse na forma ax + by, etc.

Os dominios de ideais principais son noetherianos, son dominios de integridade pechados, son dominios de factorización única e dominios de Dedekind. Todos os dominios euclidianos e todos os corpos son dominios de ideais principais.

Os dominios de ideais principais aparecen na seguinte cadea de inclusións de clases:

rngs ⊃ aneis ⊃ aneis conmutativos ⊃ dominios de integridade ⊃ dominios de integridade pechados ⊃ dominios GCD ⊃ dominios de factorización única ⊃ dominios de ideais principais ⊃ dominios euclidianos ⊃ corpos ⊃ corpos alxebricamente pechados