Elemento maximal e minimal

En matemáticas, especialmente na teoría da orde, un elemento maximal dun subconxunto ${\displaystyle S}$ dalgúns conxuntos preordenados é un elemento de ${\displaystyle S}$ que non é menor que calquera outro elemento en ${\displaystyle S}$. Un elemento minimal dun subconxunto ${\displaystyle S}$ de algún conxunto preordenado está definido dualmente como un elemento de ${\displaystyle S}$ que non é maior que calquera outro elemento en ${\displaystyle S}$.

As nocións de elementos maximal e minimal son máis febles que as de elemento maior e menor que tamén se coñecen, respectivamente, como máximo e mínimo. O máximo dun subconxunto ${\displaystyle S}$ dun conxunto preordenado é un elemento de ${\displaystyle S}$ que é maior ou igual a calquera outro elemento de ${\displaystyle S,}$ e o mínimo de ${\displaystyle S}$ volve a definirse de forma dual. No caso particular dun conxunto parcialmente ordenado, mentres que pode haber como moito un máximo e como moito un mínimo pode haber varios elementos maximais ou minimais. ^{[1] [2]} Nos conxuntos totalmente ordenados, coinciden as nocións de elemento maximal e máximo, e de elemento minimal e mínimo.

Como exemplo, na colección$${\displaystyle S:=\left\{\{d,o\},\{d,o,g\},\{g,o,a,d\},\{o,a,f\}\right\}}$$ordenado por inclusión, o elemento {d, o} é mínimal xa que non contén conxuntos na colección, o elemento {g, o, a, d } é maximal xa que non hai conxuntos na colección que o conteñan, o elemento {d, o, g} non é ningún non é nin minimal nin maximal e o elemento {o, a, f } pola contra ten as dúas propiedades é minimal e maximal. En contraste, non existe nin un máximo nin un mínimo para ${\displaystyle S.}$

O lema de Zorn afirma que todo conxunto parcialmente ordenado para o cal cada subconxunto totalmente ordenado ten un elemento maiorante contén polo menos un elemento maximal. Este lema é equivalente ao teorema da boa orde (ou de Zermelo) e ao axioma de escolla ^[3] e implica resultados importantes noutras áreas matemáticas como o teorema de Hahn-Banach, o teorema de Kirszbraun, o teorema de Tychonoff, a existencia dunha base de Hamel para cada espazo vectorial e a existencia dun pechamento alxébrico para todo corpo.

1. ↑ Richmond, Bettina; Richmond, Thomas (2009). A Discrete Transition to Advanced Mathematics. American Mathematical Society. p. 181. ISBN 978-0-8218-4789-3. .
2. ↑ Scott, William Raymond (1987). Group Theory. Dover. p. 22. ISBN 978-0-486-65377-8. 
3. ↑ Jech, Thomas (2008) [originally published in 1973]. The Axiom of Choice. Dover Publications. ISBN 978-0-486-46624-8.