Factorial descendente e ascendente

En matemáticas, o factorial descendente, ^[1] defínese como o polinomio,$${\displaystyle {\begin{aligned}(x)_{n}=x^{\underline {n}}&=\overbrace {x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)} ^{n{\text{ factores}}}\\&=\prod _{k=1}^{n}(x-k+1)=\prod _{k=0}^{n-1}(x-k).\end{aligned}}}$$O factorial ascendente (ás veces chamado función de Pochhammer ^[1]) defínese como$${\displaystyle {\begin{aligned}x^{(n)}=x^{\overline {n}}&=\overbrace {x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)} ^{n{\text{ factores}}}\\&=\prod _{k=1}^{n}(x+k-1)=\prod _{k=0}^{n-1}(x+k).\end{aligned}}}$$En ambos os casos o valor é 1 cando n = 0. Estes símbolos chámanse colectivamente potencias factoriais.^[2]

O símbolo de Pochhammer, introducido por Leo August Pochhammer, é a notación (x)_n, onde n é un número enteiro non negativo. Pode representar o factorial ascendente ou descendente, con diferentes artigos e autores usando convencións diferentes. O propio Pochhammer utilizou realmente (x)_n con outro significado, a saber, para denotar o coeficiente binomial ${\displaystyle {\tbinom {x}{n}}.}$ ^[3]

Neste artigo usaremos dous tipos de símbolos, o símbolo (x)_n úsase para representar o factorial descendente e o símbolo x⁽ⁿ⁾ para o factorial ascendente. Estas convencións úsanse en combinatoria, ^[4] aínda que as notacións de subliñado e sobreliñado de Knuth ${\displaystyle x^{\underline {n}}}$ e ${\displaystyle x^{\overline {n}}}$ son cada vez máis populares. ^[5] Son moi usados na función hiperxeométrica.

1. ↑ ^{1,0 1,1} Steffensen, J.F. (17 de marzo de 2006). Interpolation (2nd ed.). Dover Publications. p. 8. ISBN 0-486-45009-0.  — A reprint of the 1950 edition by Chelsea Publishing.
2. ↑ Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren (1988). Concrete Mathematics. Reading, MA: Addison-Wesley. pp. 47, 48, 52. ISBN 0-201-14236-8. 
3. ↑ Knuth, D.E. (1992). Two notes on notation. American Mathematical Monthly 99. pp. 403–422. JSTOR 2325085. arXiv:math/9205211. doi:10.2307/2325085.  The remark about the Pochhammer symbol is on page 414.
4. ↑ Olver, P.J. (1999). Classical Invariant Theory. Cambridge University Press. p. 101. ISBN 0-521-55821-2. MR 1694364. 
5. ↑ Harris; Hirst; Mossinghoff (2008). Combinatorics and Graph Theory. Springer. ch. 2. ISBN 978-0-387-79710-6.