Ideal maximal

En matemáticas, máis concretamente na teoría de aneis, un ideal maximal é un ideal que é maximal (en relación á inclusión de conxuntos) entre todos os ideais propios. ^[1][2]Noutras palabras, I é un ideal maximal dun anel R se non hai outros ideais contidos entre I e R .

Os ideais máximos son importantes porque os aneis cocientes polos ideais máximos son aneis simples, e no caso especial dos aneis conmutativos unitarios tamén son corpos.

Na teoría de aneis non conmutativos, un ideal maximal pola dereita defínese de xeito análogo como un elemento maximal no poset dos ideais propios pola dereita (de xeito similar temos un ideal maximal pola esquerda). Dado que un ideal maximal unilateral A non é necesariamente bilateral, o cociente R/A non é necesariamente un anel, senón que é un módulo simple sobre R. Se R ten un único ideal maximal pola dereita, entón R coñécese como un anel local, e o ideal máximal pola dereita tamén é o único ideal maximal pola esquerda e único maximal bilateral do anel, e é de feito o radical de Jacobson J(R).

É posíbel que un anel teña un único ideal maximal bilateral e, aínda así, careza de ideais maximais únicos dun lado: por exemplo, no anel de matrices cadradas 2 por 2 sobre un corpo, o ideal cero é un ideal maximal bilateral, mais hai moitos ideais maximais pola dereita.

1. ↑ Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (3rd ed.). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-43334-9. 
2. ↑ Lang, Serge (2002). Algebra. Graduate Texts in Mathematics. Springer. ISBN 0-387-95385-X.