Binetova formula

Binetova formula je izraz za računanje ${\displaystyle n}$-tog Fibonaccijevog broja kojeg označavamo s ${\displaystyle F_{n}}$, počevši od ${\displaystyle F_{1}=1.}$

Formula je nazvana po francuskom matematičaru Jacquesu Philippeu Binetu, iako je poznato da je za nju, stoljeće prije njega, znao Abraham de Moivre.

Ako s ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ označimo ${\displaystyle \alpha ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}},\beta ={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}},}$ tada formula glasi ${\displaystyle F_{n}={\frac {1}{\sqrt {5}}}({\alpha }^{n}-{\beta }^{n}).}$^[1]

Uočimo da su ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ oba rješenja zlatne jednadžbe ${\displaystyle x^{2}=x+1.}$ Dokaz Binetove formule će zbog toga biti skriven upravo u toj jednadžbi.

1. ↑ Andrej Dujella, Teorija brojeva, Školska knjiga, 2019.