Laplaceova transformacija

Laplaceova transformacija je integralna transformacija s brojnim i važnim mogućnostima primjene u matematici, fizici, elektrotehnici, teoriji vjerojatnosti i drugdje. Laplaceova transformacija je povezana s Fourierovom transformacijom, no gdje Fourierova transformacija rješava funkciju ili signal (na primjer u elektrotehnici) u području kontinuiranih sinusoidalnih (ili kosinusoidalnih) promjena (titraja), Laplaceova transformacija rješava odziv sustava za bilo koji valni oblik pobude. Laplaceova transformacija se koristi i za rješavanje diferencijalnih i integralnih jednadžbi te analizu električkih krugova, oscilatora, optičkih naprava ili mehaničkih sustava. U ovim razmatranjima se Laplaceova transformacija tumači kao transformacija iz područja vremena, gdje su ulazne i izlazne veličine funkcije vremena t, u područje kompleksne kružne frekvencije s. Laplaceova transformacija na taj način često znatno pojednostavljuje analizu sustava ili sintezu sustava zasnovanu na traženim karakteristikama.

Označena kao ${\displaystyle \displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}}$, Laplaceova transformacija je linearni operator na funkciji f(t) (original) s realnim argumentom t (t ≥ 0) koji je transformira u funkciju F(s) (sliku) s kompleksnim argumentom s. Ova transformacija je za većinu konkretnih praktičkih primjena u osnovi bijektivna gdje su odgovarajući parovi f(t) i F(s) dati u nastavku. Laplaceova transformacija ima korisna svojstva koja mnoge odnose i operacije nad originalima f(t) stavlja u jednostavnije odnose i operacije nad slikama F(s).^[1]

1. ↑ Korn, G.A.; Korn, T.M. (1967), Mathematical Handbook for Scientists and Engineers (2nd ed.), McGraw-Hill Companies, ISBN 0-0703-5370-0