Tenzor

U fizici i matematici, tenzor je poopćenje skalara i vektora. Za dani konačnodimenzionalni vektorski prostor ${\displaystyle V}$ nad poljem ${\displaystyle k}$, s dualnim prostorom ${\displaystyle V^{*}}$ linearnih funkcionala iz ${\displaystyle V}$ u ${\displaystyle k}$. tenzor tipa ${\displaystyle (p,q)}$ je multilinearno preslikavanje

${\displaystyle T:\underbrace {V^{*}\times \dots \times V^{*}} _{p{\text{ primjeraka}}}\times \underbrace {V\times \dots \times V} _{q{\text{ primjeraka}}}\rightarrow k.}$

Alternativno, tenzor tipa ${\displaystyle (p,q)}$ je element tenzorskog produkta ${\displaystyle V^{\otimes p}\otimes (V^{*})^{\otimes q}:=\underbrace {V\otimes _{k}\dots \otimes _{k}V} _{p{\text{ primjeraka}}}\otimes \underbrace {V^{*}\otimes _{k}\dots \otimes _{k}V^{*}} _{q{\text{ primjeraka}}}}$ odgovarajućeg broja primjeraka vektorskog prostora i njegovog duala.

Ako je zadana baza ${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{n}}$ vektorskog prostora ${\displaystyle V}$, tada kovektori ${\displaystyle e^{*1},\ldots ,e^{*n}\in V^{*}}$ čine bazu dualnog prostora, a vektori ${\displaystyle e_{i_{1}}\otimes \dots \otimes e_{i_{p}}\otimes e_{j_{1}}\otimes \dots \otimes e_{j_{q}}}$ gdje ${\displaystyle i_{1},\ldots ,i_{p},j_{1},\ldots ,j_{q}\in \{1,\ldots ,n\}}$ čine bazu vektorskog prostora ${\displaystyle V^{\otimes p}\otimes (V^{*})^{\otimes q}}$ koji je dimenzije ${\displaystyle n^{p+q}}$. Broj ${\displaystyle p+q}$ nazivamo i red tenzora. Vektori su dakle tenzori prvog reda, a skalari su tenzori nultog reda.

Kako za konačnodimenzionalne vektorske prostore vrijedi ${\displaystyle V^{*}\otimes V\cong End_{k}(V,V)}$ to se tenzori tipa ${\displaystyle (1,1)}$ poistovjećuju s linearnim operatorima i u zadanoj bazi opisuju kvadratnom matricom. Često se tenzor tipa ${\displaystyle (p,q)}$ može odrediti kao ${\displaystyle p+q}$-dimenzionalna hiperkubna matrica brojeva (elemenata u polju) koji se s obzirom na promjenu koordinata među vektorima ponašaju na određeni način. Te brojeve zovemo komponentama tenzora u danoj bazi. U terminima multilinearnih funkcionala, komponente tenzora ${\displaystyle T}$ tipa ${\displaystyle (p,q)}$ su brojevi ${\displaystyle T_{j_{1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots ,i_{p}}=T(e_{i_{1}},\ldots ,e_{i_{p}},e^{*j_{1}},\ldots ,e^{*j_{q}})}$.

Naime kod promjene baze ${\displaystyle f_{i'}=\sum _{j=1}^{n}O_{i'}^{j}e_{j}}$ dualna baza se mijenja kontragredijentno, ${\displaystyle f^{*i'}=\sum _{j=1}^{n}(O^{-1})_{j}^{i'}e^{*j}}$, a komponente tenzora ${\displaystyle T}$ u novoj bazi su

${\displaystyle T_{l_{1}',\ldots ,l_{q}'}^{k_{1}',\ldots ,k_{p}'}=\sum _{i_{1},\ldots ,i_{p},j_{1},\ldots ,j_{q}}O_{i_{1}}^{k_{1}'}\dots O_{i_{1}}^{k_{p}'}(O^{-1})_{l_{1}'}^{j_{1}}\dots (O^{-1})_{l_{q}'}^{j_{q}}T_{j_{1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots ,i_{p}}}$.

Primjeri tenzora 2. reda u fizici su tenzor inercije u dinamici čvrstog tijela, tenzor polarizacije u optici, tenzor napetosti u teoriji elastičnosti, tenzor energije-impulsa u teoriji polja i Faradayev tenzor u elektrodinamici (u relativističkom formalizmu 4-vektora).