Norma (matematika)

A norma olyan vektortéren vagy függvénytéren értelmezett ${\displaystyle d}$ leképezés, ami a nullvektor kivételével a tér minden vektorához egy pozitív számot rendel. Érvényesek rá a következő, az abszolút értékhez hasonló tulajdonságok:

• ${\displaystyle d(\mathbf {x} )\geq 0}$
• ${\displaystyle d(\mathbf {x} )=0}$ akkor és csak akkor, ha ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} }$
• ${\displaystyle d(\mathbf {x} +\mathbf {y} )\leq d(\mathbf {x} )+d(\mathbf {y} )}$
• ${\displaystyle d(\lambda \mathbf {x} )=\left\vert \lambda \right\vert d(\mathbf {x} )}$

${\displaystyle d(\mathbf {x} )}$-et az ${\displaystyle \mathbf {x} }$ normájának nevezzük.

A normát valós vagy komplex vektor- vagy függvénytéren vezetik be. A normával ellátott tereket normált tereknek hívják. A fogalom bevezetésének motivációja a „hosszúság” fogalmának kezelése absztrakt terekben. A normált terek több fontos analitikus tulajdonsággal bírnak, mivel a norma metrikát, és ezzel topológiát indukál. Ekvivalens normák ugyanazt a topológiát indukálják. Ha egy térten skalárszorzat van értelmezve, akkor az normát indukál. Véges dimenziós vektorterekben minden norma ekvivalens.^[1]

A norma definícióját Stefan Banach vezette be 1922-ben disszertációjában.^[2][3] A ma használt norma szimbólumot Erhard Schmidt alkalmazta először 1908-ban a vektorok közötti távolságra.^[4]

1. ↑ Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. 2. rész 13. kiad. Wiesbaden: Teubner. 2004. 19f. o. ISBN 3-519-62232-7  
2. ↑ Stefan Banach. Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales (1922) 
3. ↑ Werner. Funktionalanalysis. Springer, 41. o. (2007) 
4. ↑ Scriba, Schreiber. 5000 Jahre Geometrie: Geschichte, Kulturen, Menschen. Springer, 511–512. o. (2009)