Fungsi bilangan bulat terbesar dan terkecil

Dalam matematika, khususnya di bidang teori bilangan dan ilmu komputer, suatu fungsi ${\displaystyle f}$ dikatakan fungsi atap (ceiling function), dinotasikan oleh ${\displaystyle f(x)=\lceil x\rceil ={\text{ceil}}(x)}$, adalah fungsi yang memetakan bilangan real ${\displaystyle x}$ ke bilangan bulat terkecil yang lebih besar daripada atau sama dengan ${\displaystyle x}$.^[1] Sebagai contoh, nilai dari ${\displaystyle \lceil 0,\!8\rceil =1}$. Fungsi atap juga dapat disebut fungsi bilangan bulat terkecil^[2].

Sebaliknya, suatu fungsi ${\displaystyle f}$ dikatakan fungsi lantai (floor function), dinotasikan oleh ${\displaystyle f(x)=\lfloor x\rfloor ={\text{floor}}(x)}$, adalah fungsi yang memetakan bilangan real ${\displaystyle x}$ ke bilangan bulat terbesar yang lebih kecil daripada atau sama dengan ${\displaystyle x}$.^[1] Sebagai contoh, nilai dari ${\displaystyle \lfloor 3,\!14\rfloor =3}$. Fungsi lantai juga dapat disebut fungsi bilangan bulat terbesar.^[2]

Galibnya, definisi pada fungsi bilangan bulat terbesar dan terkecil dapat ditulis sebagai

${\displaystyle \lfloor x\rfloor =\max\{n\in \mathbb {Z} \mid n\leq x\}}$ dan ${\displaystyle \lceil x\rceil =\min\{n\in \mathbb {Z} \mid n\geq x\}}$.[1]

Hubungan kedua fungsi di atas dapat diterapkan pada salah satu fungsi berikut, yaitu bagian bilangan bulat (bahasa Inggris: integer part), di mana bilangan riil yang dipetakan ke fungsi tersebut sehingga menjadi bilangan bulat yang muncul sebelum bilangan desimal, dilambangkan ${\displaystyle [x]}$ atau terkadang dinotasikan sebagai ${\displaystyle \operatorname {int} (x)}$^[3] dan dirumuskan sebagai^[3][4]

${\displaystyle [x]={\begin{cases}\lfloor x\rfloor ,&{\text{jika }}x\geq 0\\\lceil x\rceil ,&{\text{jika }}x<0\end{cases}}}$.

Untuk memahami lebih lanjut, tinjau ${\displaystyle \pi }$ yang bernilai ${\displaystyle 3.1415926\dots }$, maka ${\displaystyle [\pi ]=3}$. Hal yang serupa dengan bilangan bertandakan negatif, contohnya sederhananya, ${\textstyle \left[-{\frac {1}{2}}\right]=0}$.

1. ^ ^{a b c} Sukardi, mathcyber1997.com: Materi, Soal, dan Pembahasan - Fungsi Lantai dan Fungsi Atap. Diakses pada 5 Agustus 2023.
2. ^ ^{a b} Gatot Muhsetyo (2019). Matematika Diskrit. Tanggerang Selatan: Universitas Terbuka. ISBN 9786023924127. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2023-06-02. Diakses tanggal 2023-05-22.  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
3. ^ ^{a b} Weisstein, Eric W. "Integer Part". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diarsipkan dari versi asli tanggal 2023-06-23. Diakses tanggal 2021-11-17. 
4. ^ "integer part". planetmath.org. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2021-05-06. Diakses tanggal 2021-11-16.