Lipatan (matematika)

Dalam matematika, lipatan adalah suatu ruang topologis yang secara lokal menyerupai ruang euklides di dekat setiap titiknya. Lebih tepatnya, setiap titik dalam n-dimensi lipatan memiliki lingkungan yang homeomorfis ke ruang Euklides dimensi n.

Lipatan berdimensi-satu meliputi garis dan lingkaran, tetapi tidak termasuk angka delapan (karena mereka memiliki titik persimpangan yang secara lokal tidak homeomorfis ke ruang Euklides berdimensi-1). Lipatan berdimensi-dua juga disebut permukaan. Contohnya termasuk bidang, bulatan, dan torus, yang semuanya dapat tertanam (terbentuk tanpa swa-simpang, atau tanpa titik potong) dalam ruang nyata tiga dimensi, tetapi juga termasuk Botol Klein dan bidang proyektif nyata, yang akan selalu memiliki swa-simpang ketika terbenam dalam ruang tiga dimensi nyata.

Meskipun lipatan secara lokal menyerupai ruang Euklides, tetapi secara global tidaklah serupa. Misalnya, permukaan bola bukanlah sebuah ruang Euklides, tetapi dalam suatu daerah dapat dipetakan dengan proyeksi peta daerah itu ke dalam bidang euklides (dalam konteks lipatan mereka disebut grafik). Ketika suatu daerah muncul dalam dua grafik berdekatan, dua representasi tidak bertepatan persis dan transformasi yang diperlukan untuk melampaui dari satu ke yang lain disebut peta transisi .

Konsep lipatan adalah pusat dari banyak bidang geometri dan matematika fisikal modern. Karena konsep ini memungkinkan struktur yang lebih rumit untuk dijelaskan dan dipahami dalam sifat relatif yang dapat dipahami dari ruang Euklides. Lipatan secara alami muncul sebagai solusi set sistem persamaan dan sebagai grafik fungsi. Lipatan mungkin memiliki fitur tambahan. Salah satu kelas penting dari lipatan adalah kelas lipatan terdiferensialkan. struktur terdiferensiasi ini memungkinkan penerapan kalkulus pada lipatan. Sebuah Metrik Riemannian pada lipatan memungkinkan jarak dan sudut diukur. Lipatan simplektik berfungsi sebagai ruang fase dalam formalisme Hamiltonian dalam mekanika klasik, sedangkan model empat-dimensi Lipatan Lorentz adalah model ruang-waktu dalam relativitas umum.