Rata-rata geometrik

Dalam matematika, rata-rata geometrik, rata-rata ukur atau purata geometrik^[3] (bahasa Inggris: geometric mean) adalah rata-rata yang menunjukkan ukuran pemusatan data atau nilai khusus dari himpunan bilangan dengan menggunakan darab dari nilai-nilainya (kebalikan dengan rata-rata aritmetika yang menggunakan penjumlahan). Rata-rata geometrik didefinisikan sebagai akar ke-n dari darab n bilangan, dalam artian, untuk himpunan dari bilangan x₁, x₂, ..., x_n, rata-rata geometrik didefinisikan sebagai

${\displaystyle \left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}}$

atau sama dengan rata-rata aritmetika dalam skala logaritmik:

${\displaystyle \exp {\left({{\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}\ln a_{i}}\right)}}$

Sebagai contoh, rata-rata geometrik dari dua bilangan, katakanlah 2 dan 8, hanya sama dengan akar kuadrat dari hasil kalinya, dalam artian, ${\displaystyle {\sqrt {2\cdot 8}}=4}$. Contoh lainnya, rata-rata geometrik dari tiga bilangan 4, 1, dan 1/32 sama dengan akar kubik dari darabnya, yaitu 1/2, dalam artian, ${\textstyle {\sqrt[{3}]{4\cdot 1\cdot {\frac {1}{32}}}}={\frac {1}{2}}}$. Rata-rata geometrik berlaku untuk bilangan positif saja.^[4]

Rata-rata geometrik acapkali dipakai untuk himpunan data yang nilai-nilainya dimaksud untuk dikalikan atau merupakan sifat eksponensial, seperti himpunan dari angka pertumbuhan: nilai-nilai dari populasi manusia atau laju bunga dari investasi finansial secara perlahan. Rata-rata geometrik berlaku pula dalam menghitung tolok ukur, yang sangat berguna dalam menghitung rata-rata dari rasio speedup: karena rata-rata kecepatan 0,5x dan 2x bernilai 1 (dalam artian, tidak ada speedup secara keseluruhan).

Rata-rata geometrik dapat dipahami pada konteks geometri. Rata-rata geometrik dari dua bilangan ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$ merupakan panjang dari satu sisi persegi yang luasnya sama dengan luas persegi panjang dengan sisi ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$. Mirip dengan sebelumnya, rata-rata geometrik dari tiga bilangan ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, dan ${\displaystyle c}$ merupakan panjang dari satu sisi kubus yang volumenya sama dengan volume balok dengan sisinya yang sama dengan tiga bilangan tadi.

Rata-rata geometri merupakan salah satu dari tiga rata-rata Pythagoras klasik, di antaranya rata-rata aritmetika dan rata-rata harmonik. Untuk semua himpunan data positif yang mengandung setidaknya satu pasangan dari nilai yang tidak sama, rata-rata harmonik selalu lebih kecil dari ketiga rata-rata tersebut, sedangan rata-rata lebih besar dari ketiganya dan rata-rata geometrik berada di antaranya (lihat Pertidaksamaan rata-rata aritmetika dan geometrik.)

1. ^ Matt Friehauf, Mikaela Hertel, Juan Liu, and Stacey Luong "On Compass and Straightedge Constructions: Means" (PDF). UNIVERSITY of WASHINGTON, DEPARTMENT OF MATHEMATICS. 2013. Diakses tanggal 14 June 2018. 
2. ^ "Euclid, Book VI, Proposition 13". David E. Joyce, Clark University. 2013. Diakses tanggal 19 July 2019. 
3. ^ Kerami, Djati; Sitanggang, Cormentyna. Glosarium Matematika, Pusat Bahasa Departemen Pendidikan Nasional Tahun 2008 (PDF). hlm. 110. ISBN 978-979-685-756-2.  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
4. ^ Rata-rata geometrik hanya berlaku untuk bilangan dari tanda yang sama. Hal ini bertujuan untuk menghindari akar dari darab bernilai negatif, yang mengakibatkan hasilnya adalah bilangan imajiner, serta pula memenuhi syarat terkait sifat-sifat tentang rata-rata. Definisi terlihat tampak jelas jika 0 dimungkinkan (yang menghasilkan rata-rata geometri bernilai 0), tetapi dapat dikecualikan, karena perhitungannya seringkali mengambil logaritma dari rata-rata geometrik (untuk mengubah operasi perkalian dengan penambahan), dan logartima dari 0 tak dapat diambil.