Teorema Cantor

Dalam teori himpunan, teorema Cantor merupakan hasil fundamental yang menyatakan bahwa, untuk setiap himpunan ${\displaystyle X}$, himpunan seluruh himpunan bagian dari ${\displaystyle X}$ (yang dikenal sebagai himpunan kuasa dari ${\displaystyle X}$, dan ditulis sebagai ${\displaystyle {\mathcal {P}}\!\left(X\right)}$) memiliki kardinalitas yang lebih dari ${\displaystyle X}$ itu sendiri. Secara simbolis, jika notasi ${\displaystyle \left|X\right|}$ menyatakan kardinalitas dari himpunan ${\displaystyle X}$, maka teorema Cantor menyatakan bahwa $${\displaystyle \left|{\mathcal {P}}\!\left(X\right)\right|>\left|X\right|}$$

Jika himpunannya berhingga, teorema Cantor dapat dipandang sebagai kebenaran melalui enumerasi sederhana dari banyaknya himpunan bagian. Apabila himpunan kosong dihitung sebagai himpunan bagian, maka suatu himpunan dengan ${\displaystyle n}$ elemen memiliki ${\displaystyle 2^{n}}$ himpunan bagian, dan teoremanya bernilai benar sebab ${\displaystyle 2^{n}>n}$ untuk setiap bilangan cacah ${\displaystyle n}$.

Hal yang lebih signifikan ialah penemuan Cantor akan argumentasi yang dapat diterapkan pada sembarang himpunan, dan menunjukkan bahwa teoremanya juga berlaku untuk himpunan takhingga. Akibatnya, kardinalitas dari bilangan riil, yang sama dengan kardinalitas himpunan kuasa dari bilangan bulat, lebih dari kardinalitas bilngan bulat; lihat kardinalitas dari kontinum untuk pembahasan lebih lanjut.

Teorema ini dinamai untuk Georg Cantor, orang pertama yang menyatakan sekaligus membuktikan teorema ini pada akhir abad ke-19. Teorema Cantor memiliki akibat yang penting untuk filsafat matematika. Misalnya, dengan mengambil himpunan kuasa dari suatu himpunan tak terhingga secara berulang dan menerapkan teorema Cantor, maka diperoleh kardinal tak terhingga yang hierarkinya tiada habisnya. Akibatnya, teorema ini menyiratkan bahwa tidak ada bilangan kardinal terbesar (dalam bahasa sehari-hari, "tidak ada takhingga terbesar").