Anello degli endomorfismi

In matematica, gli endomorfismi di un gruppo abeliano G formano un anello. Questa struttura algebrica viene detta anello degli endomorfismi (abbr: ER) di G, con la notazione (End(G), ∘, + ); dove End(G) è l'insieme degli omomorfismi di G in sè ed ha struttura di monoide con notazione (End(G), ∘ , id ). L'addizione di endomorfismi si effettua in modo punto-punto e la moltiplicazione tramite composizione di endomorfismi. Utilizzando queste operazioni, l'insieme degli endomorfismi di un gruppo abeliano forma un anello unitario, con l'endomorfismo zero ${\textstyle 0_{\operatorname {End} (G)}}$ come neutro additivo e la funzione identità ${\textstyle \operatorname {id} =1_{\operatorname {End} (G)}}$ come neutro moltiplicativo.^[1][2]

Le funzioni coinvolte sono limitate a ciò che nel contesto viene definito omomorfismo, cioè dipende dalla categoria dell'oggetto in esame. L'anello degli endomorfismi di conseguenza indica diverse proprietà interne dell'oggetto. Spesso l'oggetto risultante è un'algebra su qualche anello R, questa può anche essere chiamata algebra dell'endomorfismo.

Un gruppo abeliano è isomorfo alla struttura algebrica di un modulo sull'anello degli interi ℤ, che è l'oggetto iniziale nella categoria degli anelli. In modo simile, se R è un anello commutativo, allora è isomorfa (stessi assiomi e derivazione) agli endomorfismi di un R-modulo e formano un'algebra su R. In particolare, se R è un campo, i suoi moduli M sono gli spazi vettorial e l'anello degli endmorfismi di ogni modulo è un'algebra su campo R.