Assioma dell'infinito

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Nella teoria degli insiemi, l'assioma dell'infinito è uno degli assiomi della teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel.

Nel linguaggio formale degli assiomi di Zermelo-Fraenkel, l'assioma si scrive:

${\displaystyle \exists X:\varnothing \in X\land (\forall x:x\in X\implies x\cup \{x\}\in X),}$

oppure a parole:

Esiste un insieme ${\displaystyle X}$ tale che l'insieme vuoto è in ${\displaystyle X}$ e tale che ogni volta che ${\displaystyle x}$ è un elemento di ${\displaystyle X,}$ l'insieme formato dall'unione di ${\displaystyle x}$ con il suo singoletto ${\displaystyle \{x\}}$ è anch'esso un elemento di ${\displaystyle X.}$ Tale insieme ${\displaystyle X}$ è talvolta chiamato apodittico^[1] o insieme induttivo.

Per comprendere questo assioma, per prima cosa definiamo il successore di ${\displaystyle a}$ come ${\displaystyle a\cup \{a\}.}$ Si noti che l'assioma della coppia ci permette di costruire il singoletto ${\displaystyle \{a\}}$ per ogni insieme ${\displaystyle a.}$ I successori sono usati per definire i numeri naturali. In questa costruzione, lo zero è l'insieme vuoto (${\displaystyle 0=\{\}}$), e 1 è il successore di 0:

${\displaystyle 1=0\cup \{0\}=\{\}\cup \{0\}=\{0\}.}$

Allo stesso modo, 2 è il successore di 1:

${\displaystyle 2=1\cup \{1\}=\{0\}\cup \{1\}=\{0,1\},}$

e così via. Una conseguenza di questa definizione è che ogni numero naturale è uguale all'insieme di tutti i numeri naturali precedenti.

Potremmo avere la tentazione di formare l'insieme ${\displaystyle \mathbb {N} =\{0,1,2,\ldots \}}$ di tutti i numeri naturali ma la sua esistenza non è garantita dagli altri assiomi. L'assioma dell'infinito, assumendo l'esistenza di un insieme apodittico ${\displaystyle X,}$ garantisce che l'insieme dei numeri naturali ${\displaystyle \mathbb {N} }$ possa essere definito come l'intersezione di tutti gli insiemi apodittici contenuti in ${\displaystyle X.}$ L'insieme ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ottenuto a partire da ${\displaystyle X}$ sembra dipendere da questo: scegliendo un altro insieme ${\displaystyle Y}$ apodittico si potrebbe ottenere ${\displaystyle \mathbb {N} '}$ in ${\displaystyle Y.}$ In effetti, basta osservare che ${\displaystyle X\cap Y\neq \varnothing }$ è apodittico: quindi ${\displaystyle \mathbb {N} \subseteq X\cap Y\subseteq Y}$ da cui segue${\displaystyle \mathbb {N} '\subseteq \mathbb {N} }$ come ${\displaystyle \mathbb {N} '\subseteq X\cap Y\subseteq X}$ e quindi ${\displaystyle \mathbb {N} \subseteq \mathbb {N} '}$ ossia ${\displaystyle \mathbb {N} '=\mathbb {N} }$. L'insieme ${\displaystyle \mathbb {N} }$ è unico ed esiste grazie all'assioma dell'infinito.

Quindi l'importanza dell'assioma dell'infinito è che consente di affermare che:

Esiste un insieme che contiene tutti i numeri naturali.

L'assioma dell'infinito è anche uno degli assiomi di von Neumann-Bernays-Gödel.