Curva ellittica

In matematica, una curva ellittica è una curva algebrica proiettiva liscia di genere ${\displaystyle 1}$ definita su un campo ${\displaystyle K}$, sulla quale viene specificato un punto ${\displaystyle O}$. Inoltre, ogni curva ellittica possiede una legge di composizione interna (generalmente indicata con il simbolo ${\displaystyle +}$) rispetto alla quale essa è un gruppo abeliano con elemento neutro ${\displaystyle O}$; di conseguenza, le curve ellittiche sono varietà abeliane di dimensione ${\displaystyle 1}$.

Ogni curva ellittica definita su un campo ${\displaystyle K}$ (con caratteristica diversa da ${\displaystyle 2}$ e da ${\displaystyle 3}$) può essere scritta come la curva algebrica piana definita da un'equazione, detta equazione di Weierstrass, della forma:

${\displaystyle y^{2}=x^{3}+ax+b}$

con ${\displaystyle a,b\in K}$, in modo che sia non singolare. Cioè la curva non deve avere cuspidi o auto-intersezioni (quando la caratteristica del campo è 2 o 3 l'equazione non è abbastanza generale da contenere tutte le curve cubiche non singolari; per maggiori informazioni al riguardo, si veda la trattazione sottostante: Curve su campi arbitrari).

Se ${\displaystyle y^{2}=P(x)}$, e ${\displaystyle P}$ è un polinomio di grado ${\displaystyle 3}$ o ${\displaystyle 4}$ in ${\displaystyle x}$ senza radici coincidenti si ottiene una curva piana non singolare di genere ${\displaystyle 1}$. Più in generale l'intersezione di due quadriche tridimensionali genera una curva ellittica di genere ${\displaystyle 1}$.

Si dimostra che le curve ellittiche definite sul campo complesso corrispondono alle immersioni del toro puntato (cioè sul quale viene scelto un punto speciale ${\displaystyle O}$) nel piano proiettivo complesso; tali immersioni si generalizzano a campi arbitrari. La struttura naturale di gruppo di un toro puntato si riflette sulla curva ellittica tramite un isomorfismo, grazie al quale l'insieme dei punti della curva formano un gruppo abeliano.