Endomorfismo di Frobenius

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In algebra astratta, l'endomorfismo di Frobenius è uno speciale omomorfismo di anelli, definito solo per anelli con caratteristica positiva. Prende il nome da Ferdinand Georg Frobenius. La sua definizione si basa su un teorema che afferma che:

Se ${\displaystyle A}$ è un anello commutativo con caratteristica ${\displaystyle p}$, con ${\displaystyle p}$ numero primo, allora ${\displaystyle (a+b)^{p}=a^{p}+b^{p}}$, per ogni ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ appartenenti ad ${\displaystyle A}$.

cioè che l'applicazione

${\displaystyle F(a)=a^{p}}$

preserva l'operazione di somma. Dopotutto, essa soddisfa anche le proprietà ${\displaystyle F(ab)=F(a)F(b)}$ e ${\displaystyle F(1)=1}$, dunque si caratterizza come un endomorfismo di ${\displaystyle A}$ in sé ed è pertanto detta endomorfismo di Frobenius.