Estensione ciclotomica

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In matematica, in particolare in teoria dei campi, un'estensione di campi ${\displaystyle L/K}$ è detta ciclotomica se ${\displaystyle K}$ è un sottocampo di ${\displaystyle \mathbb {C} }$ e se ${\displaystyle L}$ si ottiene aggiungendo a ${\displaystyle K}$ una radice primitiva ennesima dell'unità. Di conseguenza ${\displaystyle L}$ è il campo di spezzamento su ${\displaystyle K}$ del polinomio ${\displaystyle x^{n}-1.}$

I sottocampi di ${\displaystyle \mathbb {C} }$ generati su ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ da una radice primitiva dell'unità si dicono campi ciclotomici.

Si dimostra che l'estensione ciclotomica ottenuta aggiungendo a un campo ${\displaystyle F\subseteq \mathbb {C} }$ una radice primitiva ${\displaystyle p}$-esima dell'unità (con ${\displaystyle p}$ primo) ha gruppo di Galois ciclico. In particolare, se ${\displaystyle F=\mathbb {Q} }$ si ha che il gruppo di Galois è isomorfo al gruppo ${\displaystyle \mathbb {Z} /(p-1)\mathbb {Z} }$.