Fibrato principale

In matematica un fibrato principale è una struttura che formalizza alcune delle caratteristiche essenziali del prodotto cartesiano M := X × G di uno spazio topologico X con un gruppo G. Analogamente ad M, un fibrato principale P è dotato di

1. un'azione di G su P, analoga a ( x, g ) h = ( x, g h ) di M;
2. una proiezione su X, che è semplicemente la proiezione sul primo fattore di M : ( x, g ) → x.

Diversamente da M, però, un fibrato principale manca di una scelta preferenziale sulla sezione dell'elemento neutro; non ha l'analogo di ( x, e ). Non c'è una proiezione generale su G che generalizzi la proiezione ( x, g ) → g sul secondo fattore. I fibrati principali possono avere una topologia complicata, che non permette loro di essere identificati con un prodotto cartesiano anche dopo una scelta arbitraria.

Un esempio comune di fibrato principale è il fibrato dei riferimenti FE di un fibrato vettoriale E, che consiste in tutte le basi ordinate dello spazio vettoriale associato ad ogni punto. Il gruppo G in questo caso è il gruppo generale lineare, che agisce nella maniera usuale sulle basi. Poiché non c'è un modo canonico di scegliere una base per uno spazio vettoriale, un fibrato dei riferimenti manca di una scelta canonica della sezione dell'identità.

In termini formali, un G-fibrato principale è un fibrato P su uno spazio topologico X dotato di un'azione libera transitiva di un gruppo topologico G sulle fibre di P. Le fibre diventano allora spazi omogenei principali per l'azione destra di G su se stesso. I G-fibrati principali sono anche fibrati con un gruppo di struttura G, nel senso che ammettono una trivializzazione locale in cui le mappe di transizione sono date da trasformazioni in G.

I fibrati principali hanno importanti applicazioni in topologia e geometria differenziale. Hanno trovato applicazione anche in fisica dove costituiscono una parte della base teorica delle teorie di gauge. Inoltre, consentono di formulare la nozione di struttura di spin, in modo che risulti agevole definire cosa sia un campo spinoriale. Sono inoltre uno strumento unificatore nella teoria dei fibrati nel senso che tutti i fibrati con gruppo di struttura G determinano un unico G-fibrato principale da cui possono essere ricostruiti.