Funtore aggiunto

In matematica, in particolare nella teoria delle categorie, l'aggiunzione è una possibile relazione tra due funtori.

L'aggiunzione è molto frequente in matematica. Una coppia di funtori aggiunti da C a D e da D a C è quanto serve affinché le due categorie C e D siano compatibili nei loro oggetti e morfismi. Per esempio, un funtore potrebbe immergere C nella sua estensione D, e l'altro funtore potrebbe restringere nuovamente D in C. Per questo genere di relazioni, l'aggiunzione formalizza i concetti intuitivi di ottimizzazione ed efficienza.

Nella più concisa definizione simmetrica, un'aggiunzione tra due categorie C e D è una coppia di funtori,

${\displaystyle F:{\mathcal {D}}\rightarrow {\mathcal {C}}}$   and   ${\displaystyle G:{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {D}}}$

e una famiglia di biiezioni

${\displaystyle \mathrm {hom} _{\mathcal {C}}(FY,X)\cong \mathrm {hom} _{\mathcal {D}}(Y,GX)}$

che è naturale per tutte le variabili X in C e Y in D. Il funtore F è chiamato aggiunto sinistro, mentre G è chiamato aggiunto destro. La relazione "F è aggiunto sinistro a G", o equivalentemente "G è aggiunto destro a F", si denota anche con

${\displaystyle F\dashv G.}$

Questa e altre definizioni saranno approfondite nel seguito.