Funzione a variazione limitata

In analisi matematica una funzione di variabile reale si dice a variazione limitata se la sua "variazione totale" è finita. Intuitivamente, le funzioni a variazione limitata in una variabile sono quelle per cui la distanza percorsa da un punto che si muove lungo il suo grafico è finita in ogni intervallo finito. Una funzione che non è a variazione limitata è il cosiddetto "seno del topologo", cioè

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}0,&{\mbox{se }}x=0\\\sin(1/x),&{\mbox{se }}x\neq 0\end{cases}}}$

se considerata in un qualsiasi intervallo che contenga lo 0, poiché all'avvicinarsi di ${\displaystyle x}$ a 0, la curva presenta infinite oscillazioni tra -1 e 1.

In più dimensioni il significato della definizione è lo stesso, tranne per il fatto che il cammino dell'ipotetico punto non può essere tutto il grafico della funzione (che sarà in generale una superficie o una ipersuperficie), ma sarà ogni intersezione di tale grafico con un piano parallelo agli assi.

Le funzioni a variazione limitata rivestono una notevole importanza nell'integrale di Riemann-Stieltjes e nel calcolo delle variazioni, poiché risultano essere le scelte naturali per trovare la soluzione in problemi di superficie minima come il problema di Didone.