Funzione armonica

In analisi matematica, una funzione armonica è una funzione differenziabile fino al secondo ordine ${\displaystyle f}$ che soddisfa l'equazione di Laplace:^[1]

${\displaystyle \nabla ^{2}f(x)=0,\qquad \forall x\in U,}$

ossia l'insieme delle funzioni armoniche costituisce il nucleo dell'operatore di Laplace. Nell'ambito della teoria del potenziale le funzioni armoniche sono spesso dette funzioni potenziale, o potenziali, e sono utilizzate in fisica e ingegneria, ad esempio, per ricondurre lo studio di un campo vettoriale in tre dimensioni al caso di un campo scalare in una dimensione. In tale contesto, una funzione armonica scalare viene detta potenziale scalare, mentre una funzione armonica vettoriale è chiamata potenziale vettore.

Le funzioni armoniche rivestono particolare importanza in analisi complessa, in quanto se una funzione armonica definita in un certo spazio viene trasformata con una mappa conforme in un altro spazio, allora tale trasformazione è armonica. Per tale ragione, ogni funzione definita con un potenziale può subire una trasformazione conforme, e rimane ancora vincolata a un potenziale.