Inviluppo (matematica)

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In matematica, l'inviluppo di una famiglia o di un insieme di curve piane è la curva tangente a ciascun membro della famiglia in almeno un punto.

La più semplice espressione analitica di un inviluppo di curve nel piano ${\displaystyle (x,y)}$ è data dalla coppia di equazioni

${\displaystyle F(x,y,t)=0\qquad \qquad (1)}$

${\displaystyle {\frac {\partial F(x,y,t)}{\partial t}}=0\qquad \qquad (2)}$

dove la famiglia è implicitamente definita da (1); la (2), in termini informali, individua i punti in cui la F(x,y,t) rimane "costante". Deve essere possibile fare la derivata parziale rispetto a t di ciascuna curva della famiglia.

Per una famiglia di curve nel piano definite dalle equazioni parametriche ${\displaystyle (x(t,p),y(t,p))}$, l'inviluppo si ottiene dall'equazione

${\displaystyle {\partial x \over \partial t}{\partial y \over \partial p}={\partial y \over \partial t}{\partial x \over \partial p}}$

dove al variare del parametro p si ottengono le differenti curve della famiglia.