Matrice di Hurwitz

In matematica, una matrice quadrata è chiamata matrice di Hurwitz se tutti gli autovalori hanno parte reale negativa. Per ogni autovalore ${\displaystyle \lambda _{i}}$ della matrice di Hurwitz ${\displaystyle A}$ l'equazione differenziale:

${\displaystyle {\dot {x}}=Ax}$

è stabile, ovvero ${\displaystyle x(t)\to 0}$ per ${\displaystyle t\to \infty }$.

Se ${\displaystyle G(s)}$ è una (matrice di valori) di una funzione di trasferimento, ${\displaystyle G}$ è chiamata talvolta funzione di trasferimento "di Hurwitz" se i poli di tutti gli elementi della ${\displaystyle G}$ hanno parte reale negativa. È noto che non è necessario che la matrice ${\displaystyle G(s),}$ sia una matrice di Hurwitz e non è necessario che sia necessariamente quadrata. La connessione è che se la matrice ${\displaystyle A}$ è una matrice di Hurwitz, allora il sistema dinamico:

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)}$

${\displaystyle y(t)=Cx(t)+Du(t)}$

è una funzione di trasferimento di Hurwitz.