Media armonica

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La media armonica in statistica è uno dei diversi tipi di media.

La media armonica ${\displaystyle H}$ dei numeri reali positivi ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$ è definita come:^[1]

${\displaystyle H={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}={\frac {n}{\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}}}={\frac {n\cdot \prod _{j=1}^{n}x_{j}}{\sum _{i=1}^{n}{\frac {\prod _{j=1}^{n}x_{j}}{x_{i}}}}}.}$

In altre parole, la media armonica è il reciproco della media aritmetica dei reciproci. Ad esempio, la media armonica dei numeri 1, 2 e 4 è

${\displaystyle {\frac {3}{{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}}}={\frac {1}{{\frac {1}{3}}({\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}})}}={\frac {12}{7}}\,.}$

La media armonica rientra nell'insieme delle medie di potenza definite come:

${\displaystyle \mu ^{(r)}=\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{r}\right)^{\frac {1}{r}}.}$

Infatti ponendo ${\displaystyle r=-1}$ si ha

${\displaystyle H=\mu ^{(-1)}=\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}\right)^{-1}={\frac {n}{\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}}}.}$