Numeri di Grassmann

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In fisica matematica, un numero di Grassmann (chiamato numero anticommutante) è una quantità ${\displaystyle \theta _{i}}$ che anticommuta con gli altri numeri di Grassmann, ma commuta con i numeri ordinari ${\displaystyle x_{j}}$,

${\displaystyle \theta _{i}\theta _{j}=-\theta _{j}\theta _{i}\qquad \theta _{i}x_{j}=x_{j}\theta _{i}.}$

In particolare, il quadrato di un numero di Grassmann è nullo:

${\displaystyle \theta _{i}\theta _{i}=0.}$

L'algebra generata da un insieme di numeri di Grassmann è nota come algebra di Grassmann (o algebra esterna). L'algebra di Grassmann generata da ${\displaystyle n}$ numeri di Grassmann linearmente indipendenti ha dimensione ${\displaystyle 2^{n}}$. Questi enti prendono il nome da Hermann Grassmann. Ad esempio se ${\displaystyle n=3}$, abbiamo gli elementi linearmente indipendenti:

${\displaystyle \theta _{1},\theta _{2},\theta _{3}}$

${\displaystyle \theta _{1}\theta _{2},\theta _{2}\theta _{3},\theta _{3}\theta _{1}}$

${\displaystyle \theta _{1}\theta _{2}\theta _{3}}$

che insieme all'unità ${\displaystyle 1}$, formano uno spazio ${\displaystyle 2^{3}=8}$-dimensionale.

L'algebra di Grassman è l'esempio prototipo di algebre supercommutative. Queste sono algebre con una decomposizione in variabili pari e dispari che soddisfa una versione gradata della commutatività (in particolare, elementi dispari anticommutano).