Orbita (matematica)

Disambiguazione – Se stai cercando la nozione generale di orbita di un elemento di un insieme sotto un'azione di gruppo, vedi azione di gruppo.

In matematica e in particolare in geometria differenziale, l'orbita di un sistema dinamico è una traiettoria percorsa dal sistema nello spazio delle fasi, ovvero una funzione che soddisfa l'equazione che definisce il sistema dinamico stesso.

Se il sistema dinamico è continuo, cioè è determinato da un'equazione differenziale ordinaria autonoma:

${\displaystyle {\frac {dX}{dt}}=F(X(t))}$

con ${\displaystyle F:M\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ un campo vettoriale differenziabile definito nello spazio delle fasi ${\displaystyle M}$, un'orbita è una soluzione ${\displaystyle X(t)}$ dell'equazione. Dal momento che il flusso ${\displaystyle \Phi _{t}(x):M\to M}$ del sistema nel punto ${\displaystyle x_{0}}$ è la soluzione quando ${\displaystyle x_{0}}$ è preso come il punto di inizio dell'evoluzione del sistema, ovvero ${\displaystyle \Phi _{t}(x_{0})\equiv X(t)}$, si ha che l'orbita passante per ${\displaystyle x_{0}}$ è talvolta scritta come l'insieme:

${\displaystyle \{\Phi _{t}(x_{0}):-\infty <t<\infty \}}$