Polilogaritmo

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In matematica, il polilogaritmo è una funzione speciale che generalizza il logaritmo. Dato un numero complesso, si definisce la funzione polilogaritmo di ordine s e argomento (complesso) z la serie di potenze

${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k^{s}}}=z+{\frac {z^{2}}{2^{s}}}+{\frac {z^{3}}{3^{s}}}+\dots }$

se per ogni ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ tale che ${\displaystyle |z|<1}$. Essa può essere estesa a una funzione definita su tutto ${\displaystyle \mathbb {C} }$ tramite il prolungamento analitico.

Per ${\displaystyle s=1}$ il polilogaritmo coincide col classico logaritmo

${\displaystyle \operatorname {Li} _{1}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k}}=-\ln(1-z)}$

Per ${\displaystyle s=2}$ il polilogaritmo è anche chiamato dilogaritmo e per ${\displaystyle s=3}$ trilogaritmo. Per valori di s interi non positivi il polilogaritmo è una funzione razionale.

Il nome deriva dal fatto che il polilogaritmo può essere definito mediante la ripetizione dell'integrale

${\displaystyle \operatorname {Li} _{s+1}(z)=\int _{0}^{z}{\frac {\operatorname {Li} _{s}(t)}{t}}\,\mathrm {d} t\,;}$

quindi il dilogaritmo è l'integrale del logaritmo e così via.