Polinomio irriducibile

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In matematica, un polinomio ${\displaystyle p(x)}$ si dice irriducibile quando non esistono dei polinomi ${\displaystyle q(x)}$ e ${\displaystyle s(x)}$ tali che ${\displaystyle q(x)\cdot s(x)=p(x)}$ con ${\displaystyle q(x)}$ e ${\displaystyle s(x)}$ non invertibili. In caso contrario, il polinomio si dice riducibile.

Se i coefficienti del polinomio sono presi in un campo, i fattori di un polinomio riducibile sono entrambi di grado inferiore e non costanti. Ad esempio

${\displaystyle p(x)=x^{3}-1=(x-1)(x^{2}+x+1),}$

è riducibile.

Se però i coefficienti sono considerati appartenenti ad un anello, questo non è sempre vero: ad esempio il polinomio ${\displaystyle 2x+6}$ è ovviamente irriducibile se considerato come polinomio in ${\displaystyle \mathbb {Q} [X]}$, mentre è riducibile se considerato su ${\displaystyle \mathbb {Z} [X]}$, perché la fattorizzazione ${\displaystyle 2x+6=2(x+3)}$ non è banale, in quanto l'inverso di ${\displaystyle 2}$, ovvero ${\displaystyle 1/2}$, non è un numero intero, e quindi ${\displaystyle 2}$ non è un elemento invertibile dell'anello dei polinomi a coefficienti interi.