Primoriale

Per n ≥ 2, il primoriale di n, indicato con n#, è il prodotto di tutti i numeri primi minori o uguali ad n. Per esempio, il primoriale di 7 è 210, essendo il prodotto dei primi 4 numeri primi (2 × 3 × 5 × 7). Il nome “primoriale” (parola macedonia di primo e fattoriale) è attribuito ad Harvey Dubner. I più piccoli primoriali sono:

2, 6, 30, 210, 2310, 30030, 510510, 9699690, 223092870, 6469693230, 200560490130, 7420738134810, 304250263527210, 13082761331670030, 614889782588491410^[1].

L'idea di moltiplicare tutti i primi compare nella dimostrazione del teorema dell'infinità dei numeri primi; è utilizzata per mostrare una contraddizione con l'assunzione della finitezza dei primi.

I primoriali hanno una certa importanza nella ricerca di numeri primi nelle progressioni aritmetiche. Per esempio, 2013041071 + k23# è un numero primo per 0 < k < 17, formando una sequenza di 16 primi ottenuti aggiungendo 23#, che termina con 5582526991. Inoltre 23# è anche la differenza comune di progressioni aritmetiche di quindici e sedici elementi.

Ogni numero altamente composto è un prodotto di primoriali (per esempio 360 = 2 × 6 × 30).