Punto di Lebesgue

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In matematica, data una funzione Lebesgue integrabile ${\displaystyle f}$, un punto di Lebesgue è un punto ${\displaystyle x}$ nel dominio di ${\displaystyle f}$ tale che:

${\displaystyle \lim _{r\rightarrow 0^{+}}{\frac {1}{|B(x,r)|}}\int _{B(x,r)}\!|f(y)-f(x)|\,dy=0}$

dove ${\displaystyle B(x,r)}$ è la sfera centrata in ${\displaystyle x}$ di raggio ${\displaystyle r}$, e ${\displaystyle |B(x,r)|}$ è la misura di Lebesgue di quella sfera. L'insieme dei punti di Lebesgue di una funzione è detto insieme di Lebesgue.

Per il teorema di Lebesgue, data una funzione ${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{k})}$, quasi ogni ${\displaystyle x}$ è un punto di Lebesgue.