Quadrato magico

Un quadrato magico è una disposizione di numeri interi in forma di tabella quadrata in cui siano rispettate due condizioni: i valori siano tutti distinti tra loro e la somma dei numeri presenti in ogni riga, in ogni colonna, e in entrambe le diagonali, dia sempre lo stesso risultato; tale intero è denominato "costante di magia" del quadrato (o "costante magica", o "somma magica"). In matematica, una tabella di questo tipo è detta matrice quadrata. In modo analogo a quanto avviene con queste ultime, il numero di righe (o di colonne) è detto "ordine" del quadrato magico. Se si moltiplica la costante magica per l'ordine, si ottiene la somma di tutti gli interi del quadrato.

Per riempire un quadrato di ordine ${\displaystyle n}$ servono ${\displaystyle n^{2}}$ numeri interi distinti. Nel caso in cui questi ultimi coincidono con gli interi da 1 a ${\displaystyle n^{2}}$, allora il quadrato è detto "perfetto", o "normale". In questo tipo particolare di quadrati, la costante magica, moltiplicata per il numero di righe (o di colonne), deve dare la somma degli interi da 1 a ${\displaystyle n^{2}}$. Se ne deduce che, nel caso dei quadrati magici perfetti, essa è data dalla formula:

${\displaystyle M_{2}(n)={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n^{2}}k={\frac {1}{2}}n(n^{2}+1).}$

I valori di ${\displaystyle M_{2}(n)}$ formano una successione i cui primi 15 componenti sono: 1, 5, 15, 34, 65, 111, 175, 260, 369, 505, 671, 870, 1105, 1379, 1695 (sequenza A006003 dell'On-Line Encyclopedia of Integer Sequences).