Quadrupla di primi

Una quadrupla di primi è una sequenza di quattro numeri primi, consistente in due coppie di numeri primi gemelli separate solo da tre non-primi. Se si denota il più piccolo primo della quadrupla con p, gli altri primi sono p + 2, p + 6 e p + 8. Il numero p + 4 viene detto centro della quadrupla. Le prime quadruple di numeri primi sono

{5, 7, 11, 13}, {11, 13, 17, 19}, {101, 103, 107, 109}, {191, 193, 197, 199}, {821, 823, 827, 829}, {1481, 1483, 1487, 1489}, {1871, 1873, 1877, 1879}, {2081, 2083, 2087, 2089}, {3251, 3253, 3257, 3259}, {3461, 3463, 3467, 3469}, {5651, 5653, 5657, 5659}, {9431, 9433, 9437, 9439}, {13001, 13003, 13007, 13009}, {15641, 15643, 15647, 15649}, {15731, 15733, 15737, 15739}, {16061, 16063, 16067, 16069}, {18041, 18043, 18047, 18049}, {18911, 18913, 18917, 18919}, {19421, 19423, 19427, 19429}, {21011, 21013, 21017, 21019}, {22271, 22273, 22277, 22279}, {25301, 25303, 25307, 25309}, {31721, 31723, 31727, 31729}, {34841, 34843, 34847, 34849}, {43781, 43783, 43787, 43789}, {51341, 51343, 51347, 51349}, {55331, 55333, 55337, 55339}, {62981, 62983, 62987, 62989}, {67211, 67213, 67217, 67219}, {69491, 69493, 69497, 69499}, {72221, 72223, 72227, 72229}, {77261, 77263, 77267, 77269}, {79691, 79693, 79697, 79699}, {81041, 81043, 81047, 81049}, {82721, 82723, 82727, 82729}, {88811, 88813, 88817, 88819}, {97481, 97483, 97487, 97489}, {99131, 99133, 99137, 99139}

Ad eccezione della prima quadrupla di primi, {5, 7, 11, 13}, il centro della quadrupla è sempre un multiplo di 15 e la quadrupla di primi assume la forma {30n + 11, 30n + 13, 30n + 17, 30n + 19} per un qualche intero non negativo n.

Una quadrupla di primi contiene due coppie di primi gemelli e due terzine di primi sovrapposte.

Non è noto se ci sono infinite quadruple di numeri primi. Dimostrare la congettura dei numeri primi gemelli potrebbe non essere sufficiente per dimostrare che sono infinite anche le quadruple di numeri primi.

Una delle quadruple note di più grandi numeri primi è centrata su 10⁶⁹⁹ + 547634621255.

La costante rappresentante la somma dei reciproci delle quadruple di tutti i numeri primi, detta costante di Brun per le quadruple di numeri primi e indicata con B₄

${\displaystyle B_{4}=\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}\right)+\left({\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{17}}+{\frac {1}{19}}\right)+\left({\frac {1}{101}}+{\frac {1}{103}}+{\frac {1}{107}}+{\frac {1}{109}}\right)+\cdots }$

vale circa

B₄ = 0.87058 83800 ± 0.00000 00005

Il primo e il terzo termine di una quadrupla di numeri primi sono ovviamente i primi di Chen; è meno ovvio che il secondo termine di una quadrupla di primi non è mai un numero primo di Chen ad eccezione della prima quadrupla e della quadrupla speciale. Il quarto termine di una quadrupla di numeri primi non è mai un numero primo di Stern.