Relazione seriale

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Nella teoria degli insiemi, una relazione seriale è una relazione omogenea che esprime la connessione di un elemento di una sequenza con l'elemento successivo. La funzione successore usata da Peano per definire i numeri naturali è il prototipo di una relazione seriale.

Bertrand Russell utilizzò le relazioni seriali in The Principles of Mathematics^[1] (del 1903), mentre esplorava i fondamenti della teoria degli ordini e le sue applicazioni. Il termine "relazione seriale" fu impiegato anche da BA Bernstein per un articolo che mostra che particolari assiomi comuni nella teoria degli ordini sono quasi incompatibili: connessione, irreflessività e transitività.^[2]

Una relazione seriale R è un'endorelazione su un insieme U. Come affermato da Russell ${\displaystyle \forall x\exists y\ xRy,}$, dove i quantificatori universali ed esistenziali si riferiscono a U. Nel linguaggio delle relazioni contemporaneo, questa proprietà definisce una relazione totale. Ma una relazione totale può essere eterogenea. Le relazioni seriali sono di interesse storico.

Per una relazione seriale R, sia (y: xRy) il "successore prossimo" di x. Una relazione seriale può essere equivalentemente caratterizzata come una relazione per la quale ogni elemento possiede un successore prossimo non vuoto. Allo stesso modo, una relazione seriale inversa è una relazione in cui ogni elemento ha un "predecessore prossimo" non vuoto.^[3]

Nella logica modale normale, l'estensione dell'insieme di assiomi fondamentali K per la proprietà seriale risulta in un insieme di assiomi D.^[4]