Schema di assiomi di specificazione

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Nella teoria degli insiemi, lo schema di assiomi di specificazione, o schema di assiomi di separazione, è uno schema di assiomi della teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel. È anche detto schema di assiomi di comprensione, benché il termine sia usato anche per la comprensione non ristretta, discussa più avanti.

Sia P un generico predicato in una variabile che non usa il simbolo B. Allora nel linguaggio formale degli assiomi di Zermelo-Fraenkel, l'assioma si scrive:

${\displaystyle \forall A,\exists B,\forall C:C\in B\iff C\in A\land P(C)}$

oppure a parole:

Dato un generico insieme A, esiste un insieme B tale che, dato un generico insieme C, C è un elemento di B se e solo se C è un elemento di A e P vale per C.

Si noti che esiste un assioma per ogni predicato P di quella forma; quindi questo è uno schema di assiomi.

Per comprendere questo schema di assiomi, si noti che B deve essere un sottoinsieme di A. Quindi, quello che l'assioma sta realmente dicendo è che, dato un insieme A e un predicato P, possiamo trovare un sottoinsieme B di A i cui elementi sono precisamente gli elementi di A che soddisfano P. Per l'assioma di estensionalità questo insieme è unico. Denotiamo usualmente questo insieme, mediante la rappresentazione per caratteristica, come {C ∈ A : P(C)}. Quindi l'essenza dell'assioma è:

Ogni sottoclasse di un insieme definita da un predicato è essa stessa un insieme.

Lo schema di assiomi di specificazione è generalmente considerato non controverso, e appare in questa forma o in una forma equivalente in quasi tutte le assiomatizzazioni della teoria degli insiemi. In realtà molte formulazioni alternative della teoria degli insiemi cercano di trovare uno schema di assiomi ancora più generoso, invece di fermarsi allo schema di assiomi della comprensione (non ristretta) menzionato più avanti.