Soluzione di Lemaitre

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La soluzione di Lemaître dell'equazione di campo di Einstein studia il comportamento dell'universo in equilibrio dinamico utilizzando la costante cosmologica, anche se con un altro significato rispetto a quello attribuitole da Albert Einstein. Il valore di ${\displaystyle \Lambda }$ è maggiore di quello usato da Einstein, in modo da avere un istante iniziale con ${\displaystyle R=0}$; per questo Lemaître si può considerare il padre del Big Bang.

La forma della soluzione di Lemaître è: ${\displaystyle k={\frac {8}{3}}\pi \rho _{0}G{\frac {1}{R}}+{\frac {1}{3}}\Lambda R^{2}-(HR)^{2}}$

dove:

${\displaystyle k}$: parametro di curvatura

${\displaystyle \Lambda }$: costante cosmologica

${\displaystyle H}$: costante di Hubble

${\displaystyle \rho _{0}}$

la soluzione può anche essere scritta, ricordando la legge di Hubble ${\displaystyle v=HR}$, come:

${\displaystyle k={\frac {8}{3}}\pi \rho _{0}G{\frac {1}{R}}+{\frac {1}{3}}\Lambda R^{2}-{\dot {R}}^{2}}$

In questi modelli si ha che la costante cosmologica ha un valore caratteristico:${\displaystyle \Lambda _{*}=-{\frac {4k^{3}}{(8\pi G\rho _{0})^{2}}}}$. Si può allora usare questo valore come discriminante per le differenti tipologie di universo, infatti se:

per ${\displaystyle \Lambda =\Lambda _{*}}$si ha un universo piatto

per ${\displaystyle \Lambda >\Lambda _{*}}$ si hanno invece i tre casi in cui a seconda di quanto vale ${\displaystyle k}$ ho un universo aperto chiuso o aperto critico. In particolare per:

${\displaystyle k<0}$: universo chiuso, in cui l'attrazione gravitazionale provoca un rallentamento dell'espansione ed un successivo collasso dell'universo, che quindi comincerà a contrarsi.

${\displaystyle k=0}$: universo aperto critico, in cui l'attrazione gravitazionale non è sufficiente a far collassare l'universo su sé stesso come per quello chiuso ma non è nemmeno sufficiente a garantire un'espansione perpetua, si avrà allora un universo che arriverà ad un tempo infinito con velocità zero.

${\displaystyle k>0}$: universo aperto, l'energia cinetica è superiore di quella potenziale e quindi l'universo continuerà ad espandersi indefinitamente.