Teorema di Krein-Milman

Il teorema di Krein-Milman è una proposizione riguardante gli insiemi convessi in uno spazio vettoriale topologico. Un caso particolare di questo teorema afferma che, dato un poligono convesso, è sufficiente sapere quali sono i suoi angoli per ricostruirne l'immagine intera. L'enunciato è falso però se il poligono non è convesso: in questo caso, ci sono più modi per disegnare un poligono dati gli angoli.

Formalmente, si consideri uno spazio vettoriale topologico localmente convesso ${\displaystyle X}$, che si assume di Hausdorff. Preso un suo sottinsieme ${\displaystyle K}$ compatto e convesso, il teorema afferma che esso è l'inviluppo convesso chiuso dei suoi punti estremali.

Hermann Minkowski aveva già dimostrato che in uno spazio di dimensione finita ogni sottinsieme convesso era l'inviluppo convesso dei propri punti estremali. Il teorema di Krein-Milman è una generalizzazione ad arbitrari spazi localmente convessi, con l'aggiunta però della chiusura.

Il teorema prende il nome dai matematici Mark Krejn e David Mil'man.