Teorema di Sylvester-Gallai

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Il teorema di Sylvester–Gallai (in origine una congettura nota come problema di Sylvester) afferma che, dato un insieme finito di almeno 3 punti del piano, non è possibile disporli in una configurazione tale che ogni retta che passi per due punti ne contenga anche un terzo, fatto salvo il caso in cui siano tutti allineati.

In altri termini, è vera la seguente alternativa:

1. o tutti i punti sono allineati;
2. oppure esiste almeno una retta che contiene solo due punti dell'insieme.

Questo enunciato, molto intuitivo e di semplice formulazione, fu proposto come problema aperto da James Joseph Sylvester nel 1893 e risolto solo nel 1944 da Tibor Gallai. Una versione più quantitativa dell'enunciato è il teorema di Beck.

L'enunciato non è vero per un insieme di infiniti punti del piano: un controesempio piuttosto evidente è fornito dall'insieme ${\displaystyle {\mathbb {Z} }\times {\mathbb {Z} }}$.