Teorema del buon ordinamento

Questa voce o sezione sull'argomento matematica non cita le fonti necessarie o quelle presenti sono insufficienti.

---

Puoi migliorare questa voce aggiungendo citazioni da fonti attendibili secondo le linee guida sull'uso delle fonti. Segui i suggerimenti del progetto di riferimento.

Il teorema del buon ordinamento (da non confondersi con il principio del buon ordinamento) afferma che ogni insieme può essere bene ordinato.

La sua importanza è dovuta al fatto che esso rende possibile trattare ogni insieme con la tecnica dell'induzione transfinita, tecnica logicamente assai efficace.

Georg Cantor considerava che questo enunciato fosse un "fondamentale principio del pensiero." Molti matematici, tuttavia, trovano difficile visualizzare un buon ordinamento di insiemi come ${\displaystyle \mathbb {R} }$, insieme dei numeri reali. Nel 1904 Julius König annunciò di avere dimostrato che tale buon ordinamento non può esistere, ma successivamente Felix Hausdorff ha trovato un errore nella sua dimostrazione. Ernst Zermelo in seguito per dimostrare il teorema del buon ordinamento introdusse l'assioma della scelta ritenendolo un "principio logico non sottoponibile ad obiezioni" (per questo motivo ci si riferisce a questo teorema come teorema di Zermelo). Oggi sappiamo che si può dire di più: il teorema del buon ordinamento è equivalente all'assioma della scelta: aggiungendo uno dei due enunciati agli assiomi di Zermelo-Fraenkel si può dimostrare l'altro.

Il teorema del buon ordinamento ha conseguenze che possono apparire paradossali, come ad esempio il cosiddetto paradosso di Banach-Tarski.