Teorema di Dirichlet

Nella teoria dei numeri, il teorema di Dirichlet (Peter Gustav Lejeune Dirichlet) afferma che dati due numeri interi coprimi ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b,}$ esistono infiniti primi della forma ${\displaystyle a+nb,}$ dove ${\displaystyle n}$ è un intero positivo, o, in altre parole, ogni progressione aritmetica siffatta contiene infiniti numeri primi.

Questo teorema rappresenta una naturale generalizzazione di quanto affermato da Euclide, e cioè che esistono infiniti numeri primi (ciò infatti rappresenta il caso particolare in cui a = b = 1). In effetti, è in genere piuttosto facile dimostrare casi particolari di questo teorema (ad esempio che esistono infiniti primi della forma ${\displaystyle 4n+1,}$ o ${\displaystyle 4n+3,}$ o ${\displaystyle 6n+5,}$ ecc.), ma il caso generale presenta invece parecchie difficoltà. È importante osservare che il teorema non dice affatto che esistono infiniti numeri primi consecutivi in progressione aritmetica. Eulero affermò che ogni progressione aritmetica che cominci con ${\displaystyle 1}$ contiene un infinito numero di primi. Il teorema in questa forma fu prima congetturato da Gauss e dimostrato da Dirichlet nel 1835 con le L-serie di Dirichlet. La dimostrazione è modellata sul precedente lavoro di Eulero che collegava la funzione zeta di Riemann alla distribuzione dei numeri primi. Il teorema rappresenta l'inizio della moderna teoria dei numeri analitica.

Nella teoria dei numeri algebrica il teorema di Dirichlet viene generalizzato al teorema di densità di Chebotarev.