Teorema di Millman

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Il teorema di Millman (dal nome del suo ideatore Jacob Millman) si applica alle reti elettriche — in corrente continua o alternata — binodali, ovvero costituite da n rami tutti derivati da due nodi. La sua formulazione deriva da un caso particolare del metodo di risoluzione di reti elettriche conosciuto come potenziale ai nodi.

Esso afferma che

«la tensione ai capi del bipolo della rete è data dal rapporto tra la somma algebrica delle correnti di corto circuito dei singoli rami e la somma delle conduttanze di ogni ramo».

In formule:

$${\displaystyle V={\frac {\sum \limits _{k}\,i_{c.c.,k}}{\sum \limits _{k}\,G_{k}}}}$$

dove le sommatorie sono estese a tutti i rami.

Nel circuito binodale in figura, considerando i generatori sotto forma di generatori di corrente, si ha una sola equazione di potenziale ai nodi:

${\displaystyle V_{AB}\left({\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{R_{n}}}\right)=Ic_{1}+Ic_{2}+\cdots +Ic_{n}}$ (formula 1).

dove Ic_n è la corrente che scorre nel ramo n-esimo. Vb, come potenziale di riferimento, ha valore zero: ${\displaystyle Vab=Va-Vb=Va}$. La (formula 1) può essere riscritta come:

${\displaystyle V_{AB}={\frac {Ic_{1}+Ic_{2}+\cdots +Ic_{n}}{{\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{R_{n}}}}}}$

la quale è la formula che permette di calcolare direttamente la tensione ai capi AB della rete e l'espressione analitica del teorema di Millman.

Le correnti Ic1, Ic2, Icn possono essere riscritte come qui sotto, nel caso che i generatori in questione siano generatori di tensione:

${\displaystyle V_{AB}={\frac {{\frac {E_{1}}{R_{1}}}+{\frac {E_{2}}{R_{2}}}+\cdots +{\frac {E_{n}}{R_{n}}}}{{\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{R_{n}}}}}}$

In quest'ultima espressione si capisce perché nell'enunciato del teorema si afferma somma algebrica delle correnti di corto circuito dei singoli rami : infatti l'espressione al numeratore della formula qui sopra definisce le correnti nei vari rami se ciascuno di essi fosse cortocircuitato (vale a dire se fossero collegati in cortocircuito i nodi A e B).