Trasformazione affine

La Francia e la sua immagine dopo una trasformazione affine. Le rette della griglia rimangono dritte e parallele tra loro, ma cambiano gli angoli e le lunghezze.

In geometria, si definisce trasformazione affine dello spazio euclideo qualunque composizione di una trasformazione lineare ${\displaystyle \mathbf {L} }$ con una traslazione; in simboli, la più generale trasformazione affine può essere scritta come

${\displaystyle A=T_{\mathbf {b} }\circ L}$

dove ${\displaystyle L:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ è una trasformazione lineare e ${\displaystyle T_{\mathbf {b} }:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ è una traslazione; esplicitamente, l'azione di ${\displaystyle A}$ è data da

${\displaystyle \mathbf {x} \mapsto \mathbf {L} \cdot \mathbf {x} +\mathbf {b} \ }$,

dove ${\displaystyle \mathbf {L} }$ è la matrice quadrata che rappresenta ${\displaystyle L}$ e ${\displaystyle \mathbf {b} }$ il vettore che determina la traslazione.

Le trasformazioni affini sono le trasformazioni più generali che preservano i sottospazi affini. Tra queste, giocano un ruolo importante le affinità: queste sono le trasformazioni affini di uno spazio in sé stesso, che sono anche una corrispondenza biunivoca.

Esempi di affinità sono rotazioni, omotetie, traslazioni, rototraslazioni, riflessioni. Le affinità non sono necessariamente isometrie, non preservano cioè angoli e distanze, mentre mantengono sempre il parallelismo tra le rette.