Triangolo di Schwarz

In geometria, un triangolo di Schwarz è un triangolo sferico che può essere utilizzato per tassellare una sfera (creando una cosiddetta tassellatura sferica), eventualmente sovrapponendosi, attraverso continue riflessioni sui suoi bordi. Tali triangoli sono stati classificati dal matematico tedesco Hermann Schwarz nel 1873 e sono stati così chiamati proprio in suo onore.

I triangoli di Schwarz possono essere più generalmente definiti come una tassellatura della sfera, del piano euclideo o di un piano iperbolico, tuttavia, ogni triangolo di Schwarz su una sfera definisce un gruppo finito, mentre su un piano euclideo o iperbolico essi definiscono un gruppo infinito.

Un triangolo di Schwarz è rappresentato da tre numeri razionali (p q r) ciascuno dei quali rappresenta uno dei suoi angoli al vertice, essendo in particolare il quoziente dell'angolo piatto diviso per il valore dell'angolo al vertice. Ciò implica ad esempio che se uno dei tre numeri è un 2, il triangolo in questione sarà un triangolo rettangolo . Quando tutti e tre i numeri sono interi, il triangolo è chiamato triangolo di Möbius e corrisponde a una tassellatura non sovrapposta, inoltre il gruppo di simmetria è chiamato gruppo triangolare. Su una sfera è possibile individuare tre triangoli di Möbius più una famiglia a un solo parametro; nel piano euclideo ci sono tre triangoli di Möbius, mentre nello spazio iperbolico c'è una sola famiglia di triangoli di Möbius a tre parametri.^[1]